微分该怎么理解？

Question

微分等于导数乘以dx，导数好理解是瞬时变化率，dx可以理解为Δx，Δx趋向于无穷小，那微分即瞬时变化率乘以一个无穷小，这有什么意义吗？能否举一个函数来举例解释一下微分如何理解？

Answer 1

微分体现的是以直代曲的思想，因为f(x)可微，就表示Δy=Ady+o(x)，o(x)小得可怜，忽略不计，近似有Δy=dy。也就是说当自变量获得一个很小的增量dx，从x0变化到x0+dx时，我们用在x0处的微分dy=f'(x0)dx，即一条线段来代替实际函数的增量Δy。

比如说求1.001²，就是求f(x)=x²在x=1.001处的函数值。因为f(1)=1，当x获得一个很小的增量dx=0.001时，对应f(x)的增量就近似等于dy=f'(1)*dx=2*0.001=0.002。

所以f(1.001)就近似等于1.002。你自己按计算器，实际的结果误差在万分之0.01以内。这就体现出了以直代曲的便利性，不管函数有多复杂，用一条直线段来代替原来函数图像的曲线。

扩展资料

三角函数

d/dx(sin x)=cos x

d/dx(cos x)=-sin x

d/dx(tan x)=sec^2 x

d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]

d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]

d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)]

d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)

d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)

Answer 2

微分体现的是以直代曲的思想，因为f(x)可微，就表示Δy=Ady+o(x)，o(x)小得可怜，忽略不计，近似有Δy=dy。也就是说当自变量获得一个很小的增量dx，从x0变化到x0+dx时，我们用在x0处的微分dy=f'(x0)dx，即一条线段来代替实际函数的增量Δy。

追答

比如说求1.001²，就是求f(x)=x²在x=1.001处的函数值。因为f(1)=1，当x获得一个很小的增量dx=0.001时，对应f(x)的增量就近似等于dy=f'(1)*dx=2*0.001=0.002，所以f(1.001)就近似等于1.002。你自己按计算器，实际的结果误差在万分之0.01以内。这就体现出了以直代曲的便利性，不管你的函数有多复杂，我用一条直线段来代替你原来函数图像的曲线。

Answer 3

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

Answer 4

我觉得因为导数是切线斜率，把dx看成横坐标的一个增量，也就是一段长度，乘以斜率（正切值）等于这段长度（dx）对应的纵坐标的增量dy